آموزش مجموعه ها در ریاضی؛ تعریف، انواع و اعمال

آموزش مجموعه‌ ها در ریاضی یکی از مهم‌ترین بخش‌های ریاضی پایه است که نقش اساسی در درک مباحثی مثل احتمال، رابطه و تابع دارد. در این مطلب، مجموعه‌ها را از پایه‌ترین مفاهیم تا انواع و اعمال اصلی آن‌ها به‌صورت کاملاً آموزشی و قابل فهم بررسی می‌کنیم.

خوب است بدانیم که نظریه مجموعه‌ها نخستین‌بار در اواخر قرن نوزدهم توسط «گئورگ کانتور» پایه‌گذاری شد و به‌سرعت به یکی از اصولی‌ترین بخش‌های ریاضیات مدرن تبدیل شد.

هدف ما این است که دانش‌آموزان پایه نهم و دهم بتوانند با مثال‌های ساده، مجموعه‌ها را به‌صورت مفهومی یاد بگیرند. اگر به دنبال یک منبع کامل و استاندارد برای آموزش مجموعه‌ها هستید، این راهنما بهترین نقطه شروع شما خواهد بود.

آموزش مجموعه ها در ریاضی با مفاهیم پایه

بیایید تعریف مجموعه را با زبان ریاضی به‌صورت دقیق و قابل فهم بررسی کنیم و آن را از مفهوم اجتماعی «مجموعه» که در زندگی روزمره به‌کار می‌بریم، به شکلی روشن و ساده متمایز کنیم.

نکات مهم درباره مجموعه ها:

اعضای یک مجموعه باید کاملاً مشخص و بدون ابهام باشند؛ یعنی اگر هر دانش‌آموزی همان مجموعه را بیان کند، دقیقاً همان اعضا را نام می‌برد و نظر شخصی یا برداشت فردی در آن تأثیری ندارد.

مثال: در زندگی روزمره وقتی می‌گوییم «مجموعه ای از سه شاعر معروف ایران را نام ببر»، هر فرد ممکن است سه شاعر متفاوت را نام ببرد؛ اما چنین تعریفی در ریاضی مجموعه محسوب نمی‌شود، چون نظر شخصی در آن دخالت دارد و اعضا برای همه یکسان و مشخص نیستند. پس متوجه می‌شویم که در ریاضی، مجموعه تنها زمانی معتبر است که اعضای آن کاملاً دقیق، مشخص و بدون هیچ‌گونه برداشت شخصی بیان شده باشند.

مثال:کدام‌یک از عبارات زیر یک مجموعه ریاضی را به‌درستی مشخص می‌کند؟

الف: سه نفر از خوشنویسان ماهر دوره معاصر

ب) بهترین بازیکن تیم ملی ایران در جام جهانی ۱۹۹۸

ج) وزیران کشور در دوره ریاست جمهوری آقای رئیسی

د) اعضای تیم ملی ایران در جام جهانی 1998

پاسخ‌ها:
الف) خیر — نامشخص و نظر شخصی
ب) خیر — چون هر فردی می تواند نظر خود را بگوید.
ج) بله — اعضا مشخص و ثابت
د) بله — اعضا مشخص و ثابت

اعضای مجموعه همیشه داخل دو علامت آکولاد { } قرار می‌گیرند. این دو علامت در ریاضی به‌نام «آکولاد باز» (سمت چپ) و «آکولاد بسته» (سمت راست) شناخته می‌شوند.
اعضای یک مجموعه را می‌توان داخل شکل‌هایی مانند دایره یا خطوط بسته کشید که به آن‌ها نمودار ون می‌گوییم. این روش به ما کمک می‌کند تا روابط بین مجموعه‌ها را بهتر ببینیم و بفهمیم.
مجموعه تهی، مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد. آن را یا به‌صورت دو آکولاد خالی { } و یا با نماد خاص ∅ نمایش می‌دهیم.
در مجموعه‌ها، هیچ عضوی نباید دوبار نوشته شود؛ اعضای تکراری شمرده نمی‌شوند.

مثال:تعداد اعضای مجموعه های زیر را مشخص کنید.

آموزش مجموعه ها

نکته برای آموزش مجموعه ها در چگونگی شمارش اعضا:

ابتدا آکولادها را حذف کنید و اعضا را ببینید. هر عضو با علامت «،» از هم جدا شده است. اگر عضوی دوبار نوشته شده بود، یکی از آن‌ها را حذف کنید و فقط یک بار بشمارید.

پاسخ ها:

در مجموعه A، عدد ۱ دو بار آمده است؛ اما فقط یک بار آن را حساب می‌کنیم. پس مجموعه A سه عضو دارد: ۱، ۳ و ۱۳.
در مجموعه B، بعد از حذف آکولادها دو عضو متفاوت می‌بینیم؛ یعنی مجموعه B دو عضو دارد. دقت کنید که اعضای مجموعه B چیستند: یکی مجموعه تهی {} و دیگری مجموعه‌ای است که مجموعه تهی عضو آن است، یعنی {∅}.
در مجموعه C سه عضو داریم:
- عضو اول: ۱
- عضو دوم: {1} (مجموعه‌ای که تنها عضو آن ۱ است)
- عضو سوم: {{1}, 1} (مجموعه‌ای که شامل مجموعه {1} و عدد 1 است)

برای بیان اینکه یک عدد یا شیء عضو یک مجموعه است، از نماد ∋ استفاده می‌کنیم.
مثلاً برای مجموعه B می‌نویسیم: B∋∅

که یعنی∅ عضو مجموعه B است.

مفاهیم پایه در آموزش مجموعه ها

تعریف دو مجموعه برابر:

به زبان ساده و اجتماعی : دو مجموعه را برابر گویند که اولا تعداد عضوهایشان برابر و اعضایشان کاملا مثل هم ( یکسان) باشد.

به زبان ریاضی: دو مجموعه B و A برابر هستند هر گاه هر عضو A عضو B باشد و هر عضو B نیز عضو A باشد و با نماد ریاضی می نویسیم A=B.

فعالیت ۲ صفحه ۶ کتاب

مجموعه شامل سه عدد طبیعی متوالی است که مجموع آن‌ها برابر ۲۷ است. ابتدا اعضای مجموعه $A$ را پیدا کنید. سپس مجموعه‌هایی که در زیر معرفی شده‌اند و با برابرند را مشخص کنید.

الف: مجموعه اعداد طبیعی بین ۶ و ۱۰
ب: مجموعه اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۷ و کوچک‌تر از ۱۰
پ: مجموعه سه عدد طبیعی متوالی که میانگین آن‌ها برابر با ۹ است

پاسخ: برای مشخص کردن اعضای مجموعه A، اعداد طبیعی متوالی را n, n+1, n+2 در نظر می گیریم. داریم:

n+n+1+n+2=27

3n=24

در نتیجه: n=8. پس اعضا برابر است با 8، 9 و 10 یعنی {10, 9, 8} = A

الف: مجموعه اعداد طبیعی بین ۶ و ۱۰
اعداد بین ۶ و ۱۰ عبارتند از: ${7, 8, 9}.$ این مجموعه برابر با نیست چون اعضا متفاوت‌اند.

ب) مجموعه اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۷ و کوچک‌تر از ۱۰
اعداد بزرگ‌تر از ۷ و کوچکتر از ۱۰ عبارتند از: ${8, 9} .$ این مجموعه هم برابر با نیست چون تعداد اعضای آن با A برابر نیست.

پ) مجموعه سه عدد طبیعی متوالی که میانگین آن‌ها برابر ۹ است
اگر سه عدد متوالی باشند، میانگین آن‌ها:

n+(n+1)+(n+2)]/3=9] یعنی 27 = n+(n+1)+(n+2)

همان معادله‌ای که قبلاً حل کردیم، که نتیجه می‌دهد: n=8. پس این مجموعه همان است و برابر است با مجموعه .

تمرین برای تیزهوشان نهمی:

1: به ازای چه مقادیری از x و y دو مجموعه { 4، 2x+1} = A و { 2y-8، x+5}=B با هم برابر می باشند.

پاسخ: برای حل این مساله باید بدانیم که اعضای دو مجموعه مساوی کاملا یکسان هستند پس داری:

2x+1=x+5

2y-8=4

از حل این دو معادله مقدار x و y به دست می آید. x=4 و y=6.

2. به ازای چه مقادیر طبیعی از x و y مجموعه { 3، 2x-1 ، 4، 3y-5 } =A دارای دو عضو خواهد بود؟

تعریف زیرمجموعه در آموزش مجموعه ها:

به زبان ساده : A را زیرمجموعه B گویند، هر گاه تمام عضوهای A در مجموعه B باشند.

به زبان ریاضی: اگر هر عضو A عضو B نیز باشد A را زیرمجموعه B می گویند و با استفاده از نماد ریاضی می نویسیم: A⊆B

حالا A زیرمجموعه B نیست یعنی چه؟ یعنی می توانیم حداقل یک عضوی در A پیدا کنیم که در B نباشد.

در ریاضی چگونه می نویسیم که A زیرمجموعه B نیست؟ A⊄B

مثال: مجموعه اعداد طبیعی، اعداد صحیح و اعداد گویا را در نظر بگیرید. به زبان ریاضی بنویسید که کدام یک زیرمجموعه دیگری است؟

تعریف مجموعه اعداد طبیعی، اعداد صحیح و اعداد گویا در پایه هفتم و هشتم برای خود یادآوری کنید.

بنابراین با تعریف این اعداد متوجه می شویم که: N⊆Z⊆Q.

چگونگی نوشتن زیرمجموعه های یک مجموعه :

نکات در مورد زیرمجموعه های یک مجموعه:

1: اگر مجموعه A دارای n عضو باشد، تعداد زیرمجموعه های آن برابر است با 2 به توان n.

2: برای نوشتن زیرمجموعه های یک مجموعه کافی است ابتدا زیرمجموعه های یک عضوی، سپس زیرمجموعه های دو عضوی و همین جور ادامه دهیم تا به زیرمجموعه ای برسیم که تعداد آن با تعداد عضوهای خود مجموعه برابر است.

مثال: مجموعه ای دارای 3 عضو است. تعداد زیرمجموعه های آن را بیابید. جواب: چون مجموعه دارای 3 عضو است پس زیرمجموعه های آن برابر است با 2 به توان 3 یعنی 2 را 3 بار در خودش ضرب کنیم: 8=2×2×2 پس مجموعه دارای 8 زیرمجموعه است.

نمونه سوال تیزهوشان در آموزش مجموعه ها برای پایه نهمی ها:

در آموزش مجموعه‌ها در ریاضی نهم، طرح پرسش‌های مفهومی اهمیت فراوانی دارد؛ زیرا این نوع سؤال‌ها به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا قدرت تحلیل خود را افزایش دهند و بتوانند نکات و مفاهیمی را که در جریان یادگیری دریافت می‌کنند، در حل مسائل جدید و کاربردی به‌کار بگیرند. هدف از طرح چنین سؤال‌هایی، تقویت توانایی تفکر، درک عمیق‌تر روابط بین مجموعه‌ها و استفادهٔ درست از مفاهیم کلیدی این بخش است

سوال 1: مجموعه ای دارای 32 زیرمجموعه است. تعداد عضوهای آن را بیابید.

پاسخ: در اینجا تعداد عضوها مجهول است و باید آن را پیدا کنیم ولی تعداد زیرمجموعه ها را می دانیم. تعداد عضوها را n در نظر می گیریم. پس 2 به توان n برابر است با تعداد زیرمجموعه ها که 32 است لذا با نوشتن معادله زیر تعداد عضوها به دست می آید.

در آموزش مجموعه ها بهتر است سوالاتی ترکیبی طراحی گردد تا دانش آموزان استفاده از اطلاعات قبلی در حل مساله را فراگیرند.

سوال 2: اگر و زیرمجموعه‌ای از باشد که تعداد اعضای آن زوج است و عدد ۲ حتماً در آن می باشد:

الف) چند زیرمجموعهٔ ممکن برای وجود دارد؟
ب) همهٔ زیرمجموعه‌هایی را که بیشترین تعداد عضو ممکن را دارند، بنویسید.

جواب قسمت الف:

می‌خواهیم مجموعهٔ را بسازیم که یک زیرمجموعه از است و دو شرط دارد: عدد ۲ حتماً باید داخل B باشد، تعداد اعضای B باید زوج باشد (یعنی ۲ تا یا ۴ تا یا ۶ تا و …). چون مجموعهٔ A خودش ۵ تا عضو دارد، زیرمجموعهٔ B نمی‌تواند ۶ عضوی باشد. پس تنهامجموعه B می تواند 2 عضوی یا 4 عضوی باشد.

حالت اول: B یک زیرمجموعهٔ ۲ عضوی باشد

وقتی B فقط ۲ عضو دارد، یکی از آنها حتماً ۲ است (طبق شرط).

پس عضو دوم را باید از بین این ۴ عدد انتخاب کنیم: ${1, 3, 4, 5}$

هر کدام را انتخاب کنیم، یک زیرمجموعه جدید ساخته‌ایم:

{2,1}
{2,3}
{2,4}
{2,5}

🌟 نتیجه: ۴ زیرمجموعهٔ ۲ عضوی داریم.

حالت دوم: B یک زیرمجموعهٔ ۴ عضوی باشد

وقتی B باید ۴ عضو داشته باشد، یکی از آنها عدد ۲ است.

پس باید ۳ عضو دیگر را از بین ۴ عدد باقیمانده انتخاب کنیم: ${1, 3, 4, 5}$

هر بار که ۳ عدد از این ۴ عدد انتخاب کنیم، یک زیرمجموعهٔ جدید ساخته می‌شود:

{1,3,4,2}
{1,3,5,2}
{1,4,5,2}
{3,4,5,2}

🌟 نتیجه: ۴ زیرمجموعهٔ ۴ عضوی داریم.

لذا جواب قسمت الف برابر با 8 است.

جواب قسمت ب:

طبق پاسخ حالت ب قسمت الف زیرمجموعه هایی که بیشترین عضو ممکن ( 4 عضوی) را دارند، 4 تا هستند.

سخت ترین سوال در آموزش مجموعه ها سوالاتی مطابق با سوالات زیر می باشد که در آزمون تیزهوشان می اید.

سوال 3: مجموعهٔ شش عضو دارد.

الف) چند زیرمجموعهٔ سه‌عضوی از این مجموعه وجود دارد که حرف b در آن‌ها نباشد؟
ب) چند زیرمجموعهٔ سه‌عضوی وجود دارد که حداقل یکی از اعضای b یا d در آن باشند؟
(راهنما: از اصل متمم استفاده کنید.)

ادامه دارد…..