آموزش شمارنده ها در ریاضی هفتم با مثالهای مفهومی و واقعی

آموزش شمارنده ها در ریاضی هفتم نیاز به پیش نیازهایی دارد که دانش آموز باید در ابتدا  خود را بابت این مفاهیم ارزیابی کند تا در ادامه از یادگیری مفاهیم اصلی دچار مشکل نشود و براحتی آنها را یاد بگیرد.

پیش نیازهای ریاضی برای یادگیری شمارنده ها در پایه هفتم عبارتند از:

• جدول ضرب و تقسیم و آشنایی با مفاهیم مقسوم و مقسوم علیه
• بخشپذیری
• مضرب

آموزش شمارنده ها برای پایه هفتمی ها 

اولین سوال: 12 را چندتا چندتا می توانیم شمرد؟

این سوال کتاب ریاضی پایه هفتم است که باید به صورت زیر برای دانش آموزان توضیح داده شود.

منظور از این که چندتا چندتا می توانیم بشماریم یعنی اگر دو تا دوتا شمردیم به خود عدد 12 برسیم و در شمارش دوتا دوتا عدد 12 یافت شود و مجبور نباشیم این تعداد را کم کنیم.

• حالا ببینیم می توانیم عدد 12 را 2 تا 2 تا بشماریم؟

2،4،6،8،10،12

پاسخ: بله.  از 2 شروع کردیم و به عدد 12 رسیدیم. این جا می گویند عدد 2 شمارنده عدد 12 است.

• آیا 12 را می توان 5 تا 5 تا شمرد؟ 

بیایید 5 تا 5 تا بشماریم و ببینیم به عدد 12 می رسیم یا نه؟ 5،10،15

پس دیدیم که اگر 5 تا 5 تا بشماریم به عدد 12 نمی رسیم. اینجا می گویند که 5 شمارنده عدد 12 نیست.

تمرین:

1. بررسی کنید که آیا عدد 3 شمارنده عدد 24 است یا نه؟ چرا ؟
2. آیا 7 شمارنده عدد 24 است یا نه؟

سوال: به نظر شما برای پیدا کردن شمارنده های یک عدد آیا این روش یک روش مناسبی است یا نه؟ نه. چون باید شمارش چندتا چندتا را مرتب انجام بدیم تا به آن عدد برسیم و  شاید این کار طولانی شود.

مثال: آیا 5 شمارنده عدد 745 است یا نه؟ اگر خواسته باشیم به این روش بنویسیم که زمان بسیار زیادی می برد پس بهتر است یک راه ساده تری برای پیدا کردن شمارنده ها را بیان کنیم.

برگردیم به سوال قبلی:

مثال: آیا عدد 2 شمارنده 12 است؟

نکته: برای این که به این سوال، پاسخ دهیم، کافی است که بررسی کنیم آیا 12 بر 2 بخشپذیر است یا نه؟

پاسخ: چون اعداد زوج بر 2 بخشپذیر هستند لذا 12 بر 2 بخشپذیر است. در نتیجه 2 شمارنده 12 است.

نکته: هر گاه 12 بر 2 بخشپذیر باشد، می گویند 2 شمارنده 12 است.

تمرین: عدد 15 بر 5 بخشپذیر است. کدام جمله ی زیر درست است؟

الف: 15 شمارنده عدد 5 است.

ب  : 5 شمارنده عدد 15 است.

پاسخ گزینه ب می باشد.

نکته: همیشه شمارنده های یک عدد از خود آن عدد کوچکتر یا مساوی آن هستند. مثلا 24 نمی تواند شمارنده 12 باشد چون از 24 بزرگتر است پس 12 شمارنده 24 1ست.

خلاصه تدریس آموزش شمارنده ها: 

نکته: برای پیدا کردن شمارنده های یک عدد، کافی است نگاه کنید که آن عدد بر چه عددهایی بخشپذیر است. تمام آن عددها را بنویسید.

مثال: شمارنده های عدد 12 را بنویسید.

بررسی کن عد 12 بر چه اعدادی بخشپذیر است؟ بر1، بر2، بر 3، بر 4 بخشپذیر است بر 5 نیست، بر 6 بخشپذیر است و دیگه فقط بر 12 بخشپذیر است.

در نتبجه:

شمارنده های 12:  اعداد 12، 6، 4، 3، 2 و 1 هستند.

نکته: اگر a بر b بخشپذیر باشد، b را شمارنده a گویند و a را مضرب b گویند.

مثال: 24 بر 8 بخشپذیر است. دو جمله برای این عبارت بگویید.

پاسخ:

جمله ی اول: 8 شمارنده 24 است.

جمله ی دوم: 24 مضرب 8 است.

نکته: اگر a بر b بخشپذیر باشد و b بر c بخشپذیر باشد، آن گاه a بر c بخشپذیر است.

مثال: 12 بر 4 بخشپذیر است و 4 بر 2 بخشپذیر است. چه نتیجه ای می گیرید؟

نتیجه اول : 12 بر 2 بخشپذیر است.

نتیجه دوم: 4 شمارنده 12 است و 2 شمارنده 4 است و نتیجه کلی این است که 2 نیز شمارنده 12 است.

لذا نکته جدید این است:

نکته: اگر a شمارنده ی b باشد و  b هم شمارنده ی c باشد، نتیجه می گیریم که a نیز شمارنده ی c است. دلیل: چون b بر a بخشپذیر است و c بر b بخشپذیر است پس c بر a نیز بخشپذیر است و لذا a شمارنده c است.

دانش آموزی که بتواند سوالات زیر را پاسخ دهد، مفهوم شمارنده ها و مفاهیم مرتبط با آن را به خوبی درک کرده است.

تمرین : کدام یک از جملات زیر درست و کدام نادرست است؟

الف: a بر b بخشپذیر است در نتیجه a شمارنده b است.

ب : a مضرب b است. در نتیجه b شمارنده a است.

ج: a شمارنده b است در نتیجه b مضرب a است.

تمرین: کدام یک از جمله ها ی زیر درست و کدام یک نادرست است؟

الف: 6 شمارنده 24 است.

ب: 12 بر 6 بخشپذیر است می توان گفت 6 مضرب 12 است.

ج: 28 مضرب 7 است در نتیجه می توان گفت 7 بر 28 بخشپذیر است.

د: 4 شمارنده 12 است در نتیجه می توان گفت 12 بر 4 بخشپذیر است.

نکاتی که یک دانش آموز باید در آموزش شمارنده ها به خوبی یاد گرفته باشد:

الف: در مبحث آموزش شمارنده ها، اعداد طبیعی مورد نظر می باشد. مثلا نمی گوییم عدد 2/5 شمارنده 9 است.

ب: عدد 1 شمارنده تمام اعداد و کوچکترین شمارنده هر عدد می باشد. مثال: کوچکترین شمارنده عدد 24 را بنویسید. پاسخ: 1.

ج: بزرگترین شمارنده هر عدد خود آن عدد است. مثال: بزرگترین شمارنده عدد 24 را بنویسید. پاسخ: خودش یعنی 24

د: شمارنده و مقسوم علیه یک معنا می دهند. چه بگویید شمارنده های آن عدد، چه بگویید مقسوم علیه های آن عدد. با هم فرقی ندارند.

و: تنها عددی که فقط یک شمارنده دارد، عدد 1 است.

مفاهیم مرتبط با آموزش شمارنده ها

1. تعریف اعداد اول :

در ریاضی یک سری اعداد (طبیعی) هستند که فقط بر 2 عدد (طبیعی) بخشپذیر هستند.

مثال: عدد طبیعی 7 را در نظر بگیرید. فقط بر 1 و بر 7 بخشپذیر است.

مثال: عدد 5 را در نظر بگیرید. فقط بر 1 و بر 5 بخشپذیر است.

به عبارتی اعدادی هستند که فقط 2 شمارنده دارند. یکی 1 و دیگری خودشان.

توجه کنید:  عدد 7 بر 1 و بر 7 (خودش) بخشپذیر است پس فقط 2 شمارنده دارد، 1 و خودش

توجه کنید: عدد 5 بر 1 و بر 5 ( خودش) بخشپذیر است. پس فقط 2 شمارنده دارد، 1 و خودش

تعریف: به این گونه اعداد عدد اول می گویند.

نکته بسیار مهم در آموزش شمارنده ها: بچه ها این کلمه اول در اینجا اصلا به شمردن ربط ندارد مثلا بگید عدد دوم یا عدد سوم. اسم این اعداد که این خاصیت را دارند، عدد اول است.

به عبارتی: هر عددی که فقط دو شمارنده داشته باشد ( یکی از آنها 1 و دیگری خودش )، عدد اول نامیده می شود.

مثال: برای این که ببینیم 13 عدد اول است یا نه، باید چه کار کنیم؟

پاسخ: برویم بررسی کنیم و شمارنده های آن را بنویسیم. اگر تعداد آنها فقط 2 تا بود می گوییم 13 اول است.

شمارنده های 13: 1 و 13. بنابراین 13 عدد اول است.

نکاتی که در آموزش شمارنده ها در مورد اعداد اول باید بدانید:

1.تنها عدد اولی که زوج می باشد برابر با 2 است. ( از این نکته در طرح مسائل استفاده می شود.)

2. تمام اعداد اول به جز 2 فرد هستند. ( چون اگر زوج باشند، بر 2 بخش پذیر می شوند و حداقل 1، خود عدد و 2 شمارنده های عدد زوج هستند که بیشتر از 2 تا شمارنده می شود. مثلا 4 زوج است. 1 و 4 شمارنده هایش هستند. چون زوج است بر 2 هم بخشپذیر است لذا 2 هم شمارنده اش است. پس 3 تا شمارنده دارد و نمی تواند عدد اول باشد.)

3. عدد 1 عدد اول نیست چون فقط یک شمارنده دارد.

4. هیچ عدد اولی را نمی توان به صورت حاصل ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از 1 نوشت.

مثال: 7 عدد اول است. تنها ضربی که برای 7 می توان نوشت: 1×7=7

مثال: 14 عدد اول نیست. چون می توانیم بنویسیم: 7×2=14

تمرین: کدام یک از اعداد زیر اول هستند. دور آنها را خط بکش و بگو چرا اعداد دیگر، عدد اول نیستند. 

23، 14، 16، 11، 13، 15،

پاسخ:

• تنها ضرب عدد 23 با اعداد طبیعی، به صورت 1×23=23 پس این عدد اول است.
• 2×7=14 پس 14 عدد اول نیست.
• 4×4=16 پس 16 عدد اول نیست.
• 11×1=11 پس 11 عدد اول است.
• 13×1=13 پس 13 عدد اول است.
• 5×3=15 پس 15 عدد اول نیست.

5. ضرب دو عدد اول به هیچ وجه نمی تواند عدد اول باشد. 

مثال: آیا حاصل ضرب 7×5 می تواند عدد اول باشد؟ 

پاسخ: نه.  حاصل ضرب 5 و 7 برابر با 35 است. چون این دو عدد شمارنده های 35  می شوند ( چرا؟ ) پس 35 حداقل 4 شمارنده دارد. ( چرا؟) و نمی تواند عدد اول باشد.

مثال: کدام گزینه درست و کدام گزینه نادرست است؟

الف: تمام اعداد طبیعی، حداقل 2 شمارنده دارند. ( پاسخ: غلط چون عدد 1 فقط یک شمارنده دارد).

ب: تمام اعداد اول، عدد فرد هستند. ( پاسخ: غلط. چون عدد 2 اول است ولی فرد نیست).

ج: بزرگترین شمارنده یک عدد، خود آن عدد است. ( پاسخ: درست).

د: کوچکترین شمارنده هر عدد برابر با کوچکترین عدد طبیعی است. ( پاسخ: درست. چون کوچکترین شمارنده هر عدد برابر با 1 است و کوچکترین عدد طبیعی هم برابر با 1 است).

مثالهایی که در آموزش شمارنده ها مفهومی است و دانش آموز باید آنها را خوب درک کند.

مثال: آیا می توان گفت: تعداد شمارنده های یک عدد همیشه زوج است. دلیل بیاورید.

پاسخ: نه نمی توان گفت. بیایید شمارنده های مثلا عدد 9 را بنویسیم.

شمارنده های 9 برابر است با اعداد 1، 3 و 9.  می بینیم که 9 سه شمارنده دارد پس تعداد شمارنده های آن زوج نیست پس جمله بالا نادرست است.

مثالی دیگر از آموزش شمارنده ها :

مثال: از ضرب 36=9×4 چه چیزهایی را متوجه می شوید. تمام آنها را بنویسید.

1.  36 بر 4 و 9 بخشپذیر است.
2. 4 و 9 هر دو  شمارنده های 36 هستند.
3.  36 مضرب هر دو عدد 4 و 9 است.
4. چهارمین مضرب 9 عدد 36 است.
5. نهمین مضرب 4 عدد 36 است.

نکته: مجموع یک عدد زوج و یک عدد فرد همیشه عددی فرد است.

مثالی بسیار مهم از مبحث آموزش شمارنده ها:

مثال: جمع دو عدد اول برابر با 25 شده است. آن دو عدد را پیدا کنید.

پاسخ: چون حاصل جمع دو عدد، فرد شده است. یعنی چه؟

یکی از اعداد زوج و دیگری فرد است.  ( طبق نکته بالا)

هر دو عدد چی هستند؟ اول

یکی از آنها زوج و یکی از آنها فرد ( چرا؟)

تنها عدد زوج اول چند است؟ 2 .

پس یکی از تعداد اول باید چند باشد؟ 2

در نتیجه

25=…… + 2 در نتیجه عدد اول بعدی برابر با 23 است. یعنی دو عدد اول 2 و 23 با هم جمع شده اند که حاصل جمعشان 25 شده است.

تمرین: جمع دو عدد اول برابر با 55 شده است. آن دو عدد را بیابید.