غربال ریاضی هشتم برای پیدا کردن اعداد اول

بعد از خواندن مقاله غربال ریاضی هشتم باید بتوانید به سوالات زیر پاسخ دهید:

• اعداد اول را تعریف کنید.
• مضرب را تعریف کنید.
• اعداد طبیعی به چند دسته تقسیم می شوند ؟ آنها را نام ببرید و برای هر کدام مثالی بزنید.
• الگوریتم غربال چه هدفی را دنبال می کند؟

غربال ریاضی هشتم یکی از مباحث سنگین می باشد که اگر دانش آموز مفاهیم مرتبط با آن را به خوبی فرا نگیرد نمی تواند مسائل مربوط به آن را حل کند.

برای اینکه مبحث غربال را خوب متوجه شویم نیاز است که از کتاب ریاضی هفتم مباحث زیر را به یاد آوریم.

نکات مربوط به اعداد اول برای یادگیری مبحث غربال ریاضی هشتم

مباحث زیر را باید آموخته باشند.

تعریف اعداد اول: اعداد طبیعی که فقط دو شمارنده دارند یکی 1 و دیگری خودش.

این تعریف یعنی چه؟ یعنی اعداد طبیعی که فقط بر خودش و 1 بخشپذیر باشد.( یعنی عدد اول بر هر عدد دیگر غیر از 1 و خودش تقسیم کنیم، باقیمانده خواهد داشت.)

مثال: اول بودن اعداد زیر را بررسی کنید.

الف: 23

کافی است شمارنده های عدد 23 ( اعدادی که 23 بر آنها بخشپذیر است) را بنویسیم. اگر نگاه کنیم 23 را بر هر عددی به غیر از 1 و خودش تقسیم کنیم، باقیمانده خواهد داشت پس 23 فقط دو شمارنده دارد: 1 و خودش پس عدد اول است.

ب: 25

اگر دقت کنیم 25 بر 5 بخشپذیر است پس عدد 25 بیش از 2 شمارنده دارد: شمارنده های آن عبارتند از:  1، خودش و 5  که نشان می دهد 25 سه شمارنده دارد پس عدد اول نیست.

نکات مربوط به اعداد اول:

• تمام اعداد اول را فقط می توان به صورت ضرب دو عدد طبیعی 1 و خودشان نوشت منظور این است که 23 را فقط می توان به صورت 23×1 نوشت.
• تنها عدد اولی که زوج باشد، عدد 2 است و تمام اعداد اولِ دیگر همگی فرد هستند.
• با استفاده از اعداد اول، می توان تمام اعداد دیگر را ساخت. مثلا عدد 10 را می توان به صورت 2×5 یا عدد 12 را می توان به صورت 2×2×3 نوشت.

مثال: عددهای 32 و 18 را با اعداد اول بسازید.

جواب: 3×3×2=18  ؛   32=2×2×2×2×2

تعریف مضرب :

منظور از مضرب یعنی مضرب طبیعی ( مرور از پایه هفتم)

تعریف: مضربهای یک عدد از حاصل ضرب آن عدد در اعداد طبیعی به دست می آید.( مضربهای صحیح یک عدد: از ضرب آن عدد در اعداد صحیح به دست می آید.)

مثال: مضرب های عدد 3 را بنویسید.

جواب: با ضرب کردن عدد 3 در اعداد طبیعی مضربهایش را به دست می آوریم.

3=1×3

6=2×3

9=3×3

و بقیه را نیز به همین ترتیب می نویسند. دقت کنید که 3، 6 ، 9 و …. اینها مضارب 3 هستند. می گویند اولین مضرب 3 یعنی 3 را در 1 ضرب کنیم هر چه به دست آمد، اولین مضرب 3 است.

مثال: هفتمین مضرب 3 را به دست آورید. کافی است که 3 را در 7 ضرب کنید و هر چه به دست آمد هفتمین مضرب 3 است که داریم : 21 = 7× 3  پس 21 هفتمین مضرب 3 است.

مثال: 36 چندمین مضرب 3 است؟ در این گونه سوالات کافی است 36 را بر 3 تقسیم کنیم و جواب 12 به دست می آید. پس 36 دوازدهمین مضرب 3 است.

نکات مربوط به مضرب:

• مضربهای a  بر عدد a بخشپذیر هستند. پس اگر سوال بپرسند که آیا 48 مضرب 6 است یا نه؟ کافی است بخشپذیری 48 را بر 6 بررسی کنید.
• a  شمارنده مضربهای خودش است. مثلا 3 شمارنده 3، 6 ، 9 و … می باشند.
• بزرگترین مقسوم علیه بین a و مضربهایش همیشه خود عدد a است. مثلا  3= ( 12 ، 3). به عبارتی 12 مضرب 3 است پس بزرگترین مقسوم علیه مشترک بین 3 و 12 عدد 3 است.

کاربرد غربال ریاضی هشتم :

الگوریتم غربال در ریاضی هشتم به منظور پیدا کردن اعداد اول بین تعداد اعداد داده شده است. مثلا به شما می گویند که اعداد اول از 1 تا 100 را پیدا کنید.

یکی از روش های پیدا کردن این اعداد استفاده از الگوریتم غربال ریاضی هشتم است. حال به بررسی چگونگی پیدا کردن اعداد اول با الگوریتم روش غربال می پردازیم.

نکاتی که قبل از شروع الگوریتم باید بدانید:

• مضربهای اعداد اول
• تعریف عدد مرکب. عدد مرکب عددی است که اول و 1 نباشد. ( می توان آن را به صورت حاصل ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از 1 نوشت.)

نمونه سوالات مضربها برای یادگیری غربال ریاضی هشتم:

• مضربهای غیر اول عدد 2 از 1 تا 20 چند تا هستند؟  9 تا (4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20)
• اگر اعداد از 1 تا 50 را به ترتیب نگاه کنیم اولین عدد غیر اول کدام عدد است؟ جواب: 1 چون اولین عدد 1 است و اول نیست.

الگوریتم غربال ریاضی هشتم :

مثال: می خواهیم با روش غربال اعداد اول بین 1 تا 50 را پیدا کنیم.

ابتدا اعداد از 1 تا 50 را می نویسیم.

• روش غربال برای اعدادی که از 1 شروع می شود، ابتدا عدد 1 را که اولین عدد غیر اول است خط می زند.
• مرحله بعد مضربهای مرکب عدد 2 را خط می زند. پس چه اعدادی خط می خورند؟ 4، 6، 8، 10، 12، و ….. تا 50 خط می خورند.
• مرحله بعد مضربهای مرکب عدد 3 که خط نخورده اند، خط می خورد. بگو چه اعدادی خط می خورند؟ 15، 21، 27، 33، 39، 45
• مرحله بعد مضربهای مرکب عدد 5 که خط نخورده اند خط می خورد. بگو چه اعدادی خط می خورند؟ 25، 35
• بعد مضربهای 7 که خط نخورده اند را خط می زنیم.بگو چه اعدادی خط می خورند؟ 49 بقیه مضربها خط خورده است.
• آیا نیاز به خط زدن مضربهای عدد اول بعدی ( 11) می باشد؟ چرا؟ جواب: نه چون تمام مضربهای مرکب 11 که عبارتند از: 22، 33، 44 توسط مضربهای دیگر اعداد اول خط خورده اند.

نکات مهم که از سوالهای بالا در مورد غربال ریاضی هشتم متوجه می شویم به صورت زیر است:

1. غربال با خط زدن مضربهای مرکب اعداد اول، اعداد اول باقیمانده را پیدا می کند. مثلا در مثال بالا یکی از اعدادی که خط نمی خورد 23 است در نتیجه می گوید که 23 یک عدد اول است.
2. اولین عددی که توسط مضربهای 2 خط خورد 4 بود. اولین عددی که توسط مضربهای 3 خط خورد، 9 و اولین عددی که توسط مضربهای 5 خط خورد، 25  و اولین عددی که توسط مضربهای 7 خورد عدد 49 بود پس یک نتیجه گیری مهم به دست می اید: اولین عددی که توسط مضربهای عدد اول داده شده خط می خورد برابر است با آن عدد به توان 2
3. چه اعدادی در غربال ریاضی هشتم زودتر خط می خورند: اگر 1 داشته باشیم اول 1 خط می خورد در ادامه اعداد مرکبی که بر 2 بخشپذیر هستند، سپس بر 3 و به همین ترتیب ادامه دارد.

مثال: کدام یک از اعداد زیر در غربال زودتر از همه خط می خورد؟

الف : 135      ب: 125      ج: 115   د: 405

جواب: ابتدا نگاه می کنیم که هیچ یک از اعداد بر 2 بخشپذیر نیستند. پس به دنبال اعدادی هستیم که بر 3 بخشپذیر باشند. عدد 135 و 405 بر 3 بخشپذیر هستند پس این 2 دو عدد زودتر خط می خورند. اول 135 چون کمتر است و سپس 405 خط می خورد.

در ادامه به دنبال اعدادی هستیم که بر 5 بخشپذیر باشند در نتیجه 115 و 125 هر دو بر 5 بخشپذیر هستند ولی 115 زودتر خط می خورد چرا که از 125 کمتر است.

برگردیم به سراغ الگوریتم غربال ریاضی هشتم:

در پایان وقتی متوجه شدیم که دیگر نباید مضرب عدد اولی را خط بزنیم ( از کدام نکته بالا باید متوجه شویم؟ نکته دوم ) تمام اعداد باقی مانده اعداد اول هستند. پس در مثال پیدا کردن اعداد اول از 1 تا 50 متوجه می شویم که اعداد اول عبارتند از :

2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43 و 47

نمونه سوالات مربوط به غربال ریاضی هشتم:

می خواهیم اعداد اول از 1 تا 100 را به روش غربال پیدا کنیم:

• اولین عددی که در غربال خط می خورد کدام است؟ جواب: چون از 1 شروع شده پس اولین عدد 1 است.
• اولین مضرب 7 که توسط مضربهای 7 خط میخورد چند است؟  جواب: ( 7 به توان 2 می رسانیم) 49
• سومین عددی که توسط مضربهای 3 خط می خورد کدام است؟ جواب: 21 (نکته: اولین عددی که توسط مضربهای 3 خط می خورد برابر با 9 است و سپس اعداد بعدی 6 تا 6تا اضافه می شوند. پس اوی 9، دومی 15 و سومین عدد 21 است.)

نمونه سوال متفاوت دیگر از غربال ریاضی هشتم:

سوال: برای بررسی کردن اینکه 151 عدد اول است یا نه حداکثر به چند تقسیم نیاز داریم؟ آیا اول است؟

توضیحات: برای پاسخ دادن به این سوال ابتدا باید متوجه شویم که اگر قرار است این عدد خط بخورد توسط مضربهای کدام اعداد اول می تواند خط بخورد. آیا می تواند توسط مضربهای 13 خط بخورد؟ نه چرا؟ چون اولین عددی که توسط مضربهای 13 خط می خورد برابر است با 169= 2^13 پس 151 قرار نیست با مضربهای 13 خط بخورد ولی می تواند با مضربهای 2، مضربهای 3، مضربهای 5 و مضربهای 7 و 11 خط بخورد.

پس کافی است جذر این عدد را به صورت تقریبی حساب کنیم و اعداد اول کمتر از جذر را در نظر بگیریم.

جذر 151= 12/2 لذا اگر قرار است این عدد خط بخورد با مضرب اعداد اول کمتر از 12 خط می خورد.

حالا چند عدد اول کمتر از 12 داریم؟ 5 تا ( 2،3،5،7 و 11)

لذا باید ببینیم 151 بر هیچ کدام از اینها بخشپذیر است یا نه؟ اگر بر یکی از اینها بخشپذیر بود مشخص است که خط می خورد و عدد اول نیست ولی اگر بر هیچ کدام از اینها بخشپذیر نبود مشخص است که در غربال خط نمی خورد و عدد اول است.

حال بررسی کنیم که 151 بر هیچ کدام بخشپذیر است یا نه؟ حداکثر چند تقسیم باید انجام دهیم؟ معلوم است که حداکثر به تعداد اعداد اول باید تقسیم کنیم لذا حداکثر باید 5 تقسیم انجام گیرد.

حال ببینیم اول است یا نه؟

151 بر 2 بخشپذیر نیست ( زوج نیست)

151 بر 3 بخشپذیر نیست ( مجموع رقم های آن بر 3 بخشپذیر نیست.)

151 بر 5 بخشپذیر نیست ( رقم یکان آن صفر یا 5 نیست.)

151 بر 7 بخشپذری نیست ( چون اگر 151 بر 7 تقسیم کنیم باقیمانده آن صفر نمی شود)

151 بر 11 بخشپذیر نست ( چون با تقسیم 151 بر 11 باقیمانده صفر نمی شود)

بابراین عدد 151 عدد اول است.

نمونه سوالات :

1. در غربال 201 تا 400 به سوالات زیر پاسخ دهید:

•   اولین عددی که در غربال خط می خورد چه عددی است؟
•   اولین عددی که با مضرب 3 خط می خورد کدام است؟
• چند عدد با مضربهای 2 خط می خورند؟
• ترتیب خط خوردن هر یک از اعداد 325، 289، 163 و 388 ا مشخص کنید.

2. آیا عدد 289 اول است یا نه؟ برای بررسی آن حداکثر به چند تقسیم نیاز داریم؟